Condensador plano-paralelo

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Condensador

Agrupación de condensadores

Condensador plano-paralelo

Energía de un condensador cargado

Electrómetro de placas

java.gif (886 bytes)Actividades

 

Condensador

Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto.

La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.

La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad como el microfaradio 10-6 F, y el picofaradio, 10-12 F.

 

Agrupación de condensadores

Los condensadores se pueden agrupar en serie o en paralelo.

El caso más importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C1 y C2. Si inicialmente sus cargas eran q1 y q2. Después de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.

De este sistema de ecuaciones despejamos q1 y q2

En la figura se muestra la analogía hidráulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.

comunica.gif (4342 bytes)

 

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V, la carga que adquiere el condensador es Q0=C·V. La energía acumulada en el condensador es U0=CV2/2

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Supongamos que conectamos este condensador a otro idéntico inicialmente descargado. Cuando el circuito la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en ambos condensadores es la misma.

Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores será la mitad de la carga inicial

Q1=Q0/2, V1=V/2
Q2=Q0/2, V2=V/2

La energía acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es

La energía final es la mitad de la energía inicial. Siempre se perderá la mitad de la energía independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores.

Analogía hidráulica

Supongamos dos depósitos cilíndricos iguales conectados por un tubo horizontal de sección despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vacío.

vasos.gif (2616 bytes)

La energía inicial del agua es la energía potencial del centro de masas del agua que está a una altura h de la base. U0=mgh

Si se abre la llave el agua el agua fluye del primer depósito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depósitos. La energía final será

la mitad de la energía inicial.

Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habría pérdidas en la energía ya que la energía potencial del agua se transforma en cinética del agua que fluye y viceversa. El agua pasaría de un depósito al otro, se produciría un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurriría en un sistema de dos condensadores, la carga oscilaría entre los dos condensadores.

La resistencia del tubo que conecta los dos depósitos al movimiento del agua es análoga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Después de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situación final de equilibrio.

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La situación final no se alcanza por tanto, de una vez, sino después de un cierto tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la resistencia.

 

Condensador plano-paralelo

En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada con una densidad de carga s , aplicamos la ley de Gauss.

Campo creado por una placa plana indefinida, cargada.

placa.gif (3598 bytes)

Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.

2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El cálculo del flujo, tiene dos componentes

  • Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos, luego, el flujo.

E·S1+E·S2=2EScos0º=2ES

  • Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector superficie dS. Luego, el flujo es cero.

El flujo total es por tanto; 2ES

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga en el interior de la superficie (en la figura de color rojo) cerrada vale q=s S, donde s es la carga por unidad de superficie

4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.

 

Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas.

placa1.gif (3218 bytes) Supondremos que las placas son infinitamente grandes o bien, que la separación entre las placas es pequeña comparada con sus dimensiones.

En la figura, se muestra el campo producido por cada una de las placas a la izquierda y el campo resultante a la derecha.

En un condensador formado por dos placas iguales de área S, separadas una distancia d, pequeña en comparación con las dimensiones de las placas. El campo se cancela en la región del espacio situado fuera de las placas, y se suma en el espacio situado entre las placas. Por tanto, solamente existe campo entre las placas, siendo despreciable fuera de las mismas.

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Como el campo es constante, la diferencia de potencial entre las placas se calcula multiplicando el módulo del campo por la separación entre las mismas. El área del rectángulo sombreado en la figura.

La capacidad del condensador plano-paralelo será

donde Q=s S es la carga total de la placa del condensador.

Como podemos apreciar la capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de las placas S y de la separación entre las mismas d.

 

Energía de un condensador cargado

El proceso de cargar un condensador consiste en el paso de carga de la placa de menor a la de mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de energía. Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas completamente descargadas, y después, sacamos repetidamente cargas positivas de una de ellas y las pasamos a la otra. En un momento dado, tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las mismas será V tal que

q=C·V

El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador será

dW=V·dq

Y el trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta desde cero hasta su valor final Q.

 

Electrómetro de placas

Está constituido por un condensador plano, cuyas armaduras tienen un área S. Una de las placas es solidaria al brazo de una balanza que nos va a permitir medir la fuerza de atracción entre las placas.

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Supongamos que las placas están separadas una distancia x, y están conectadas a los terminales de un generador electrostático que proporciona una tensión V que queremos determinar.

La energía del condensador depende de capacidad del condensador y ésta a su vez depende de la separación x entre sus placas. La fuerza de atracción se obtiene derivando respecto de la separación x la energía potencial electrostática, manteniendo el potencial V constante o la carga Q constante.

Ahora bien, si queremos que la carga Q se mantenga constante, primero conectamos las placas a un generador electrostático para que adquieran carga y luego, las aislamos. Derivamos la primera expresión de la energía W respecto de x.

La fuerza sería constante, se supone que la separación x entre las placas se mantiene pequeña comparada con sus dimensiones.

Mantenemos el potencial V constante, conectando las placas al generador todo el tiempo que dura la experiencia. Derivamos la segunda expresión de la energía W respecto a x.

La fuerza disminuye al aumentar la separación x entre las placas.

 

Actividades

En el applet se trata de medir una tensión desconocida V, mediante un electrómetro formado por dos placas planas y paralelas.

El programa interactivo genera un número aleatorio en un intervalo dado, el usuario ha de adivinar cuál es el potencial V midiendo la fuerza F entre las placas y a partir de los datos suministrados de la distancia x entre las placas y el área S de las mismas.

Pulsando el botón titulado Nuevo, se genera un número aleatorio que representa la tensión V desconocida de un generador.

Pulsamos el botón titulado Conectar, y las placas del condensador se conectan a dicho generador, las placas del condensador se atraen entre sí. La placa superior solidaria al brazo de la balanza la desequilibra, y tenemos que volverla a equilibrar para medir la fuerza de atracción F.

Moviendo los cursores de la balanza (flechas de color azul, rojo y negro) equilibramos la balanza y medimos la fuerza en miligramos.

Ejemplo:

Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratón los cursores hasta marcar 481 mg.

Sabiendo que el área de las placas es de 400 cm2 y su separación de 1 cm. Introducimos los datos en la fórmula de la fuerza en las unidades adecuadas.

Comparamos nuestros cálculos con la respuesta dada por el programa interactivo 1631.7 V, pulsando en el botón titulado Respuesta.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1