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URL ORIGINAL: http://bellota.ele.uva.es/~imartin/libro/node9.html

Subsecciones


Cinemática

Introducción

Cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de las causas que lo originan es lo que se conoce como dinámica.

Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres, la posición, la velocidad y la aceleración.

 
Posición
es el lugar en que se encuentra el móvil en un cierto instante de tiempo $t$. Suele representarse con el vector de posición $\vec{r}$. Dada la dependencia de este vector con el tiempo, es decir, si nos dan $\vec{r}(t)$, tenemos toda la información necesaria para los cálculos cinemáticos.
Velocidad
es la variación de la posición con el tiempo. Nos indica si el móvil se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía el tiempo. La velocidad en física se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad.
Aceleración
indica cuánto varía la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto de aceleración no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervención de un criterio de signos puede hacer que interpretemos erróneamente cuándo un cuerpo se acelera $(a>0)$ o cuándo se ``decelera'' $(a<0)$. Por ejemplo, cuando lanzamos una piedra al aire y ésta cae es fácil ver que, según sube la piedra, su aceleración es negativa, pero no es tan sencillo constatar que cuando cae su aceleración sigue siendo negativa porque realmente su velocidad está disminuyendo, ya que hemos de considerar también el signo de esta velocidad.


Velocidad

Se define velocidad media como

\begin{displaymath}\vec{v_m}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta
t}\end{displaymath}

tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen.

No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud útil, hay que destacar que en su cálculo se deja mucha información sin precisar. Así, aunque sepamos que la velocidad media de un móvil desde un instante 1 a otro 2 ha sido ``tantos'' metros por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento al principio y rápido al final o si...por eso se define una magnitud que exprese la velocidad instantánea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan pequeños que pueda decirse exactamente a qué velocidad se desplazaba el móvil en cada instante. Es fácil darse cuenta de que esta definición se logra tomando como velocidad instantánea:

\begin{displaymath}\vec{v}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\end{displaymath}

y por tanto, coincide con la definición de derivada respecto al tiempo. Así pues se define finalmente

\begin{displaymath}\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{r}.\end{displaymath}

De esta definición se obtienen algunas consecuencias:


Aceleración

Aceleración es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede definir una aceleración media entre dos instantes, inicial y final, como

\begin{displaymath}\vec{a}_m = \frac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i}\end{displaymath}

y, de manera análoga a la velocidad, puede definirse una aceleración instantánea llevando estos instantes inicial y final muy cerca uno del otro, hasta tener así que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo

\begin{displaymath}\vec{a} =
\frac{d}{dt}\vec{v}(t).\end{displaymath}

Componentes intrínsecas de la aceleración

Tomando el vector velocidad como un módulo por un vector unitarios, es decir, como

\begin{displaymath}\vec{v}= \vert\vec{v}\vert\hat{v}\end{displaymath}

y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las derivadas (apéndice C),

\begin{displaymath}\vec{a} =
\underbrace{(\frac{d}{dt}\vert\vec{v}\vert)\hat{v}}...
...} +
\underbrace{\vert\vec{v}\vert\frac{d}{dt}\hat{v}}_{normal}.\end{displaymath}

De estas dos componentes la primera se denomina aceleración tangencial porque, como se desprende de su propia definición, su dirección es la del vector unitario $\hat{v}$ y es por tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente es la aceleración normal.

De la aceleración tangencial diremos que su módulo es

\begin{displaymath}
\vert\vec{a}_t\vert = \frac{d}{dt}\vert\vec{v}\vert
\end{displaymath} (5.1)

y su dirección

\begin{displaymath}\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\vert\vec{v}\vert}.\end{displaymath}

Esta $\vec{a}_t$ se encarga de ``medir'' la variación de la velocidad sin importarle su dirección ni sentido, sino solo su módulo, es decir, su ``intensidad''.

En cuanto a la aceleración normal, se puede demostrar que su módulo es

\begin{displaymath}
\vert\vec{a}_n\vert= \frac{\vert\vec{v}\vert^2}{R},
\end{displaymath} (5.2)

siendo $R$ el radio de curvatura de la trayectoria, y que su dirección es siempre perpendicular a la trayectoria y hacia el interior de la ``curva''.

Clasificación de movimientos

Los movimientos se pueden clasificar según las componentes intrínsecas de su aceleración.

  1. $a_t = 0$
    1. $a_n = 0$. Movimiento rectilíneo a velocidad constante.
    2. $a_n = cte$. Movimiento circular uniforme.
    3. $a_n \ne cte$. Movimiento circular acelerado.
  2. $a_n = 0$
    1. $a_t = 0$. Movimiento rectilíneo a velocidad constante.
    2. $a_t = cte$. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
    3. $a_t \ne cte$. Movimiento rectilíneo acelerado.
  3. $a_n \ne 0$ y $a_t \ne 0$. Movimiento curvilíneo.

Composición de movimientos

Los problemas de composición de movimientos tienen la dificultad de saber respecto a que sistema estamos resolviendo y por tanto determinar siempre las magnitudes respecto al sistema apropiado, bien el especificado por el problema, bien uno elegido adecuadamente. Es común en este tipo de problemas la presencia de más de un móvil y hay que ser muy cuidadoso para identificar correctamente que móviles se mueven y respecto a qué.

Translación pura

Sus relaciones, que pueden deducirse fácilmente de la suma vectorial y posterior derivación respecto al tiempo, son:
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\vec{r} & = & \vec{r}'+\vec{r}_0 \\
\vec...
...{v}'+\vec{v}_0 \\
\vec{a} & = & \vec{a}'+\vec{a}_0
\end{array}\end{displaymath} (5.3)

En donde intervienen el sistema ``quieto'' y el que se ``mueve'', que es el ``primado''. Las magnitudes con el subíndice 0 son las relativas entre los sistemas de referencia.

Una estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear es la siguiente:

  1. Plantear un sistema fijo, respecto al cual conocemos, al menos, cómo es el movimiento de uno de los otros sistemas.
  2. Dibujar entonces el vector de posición que buscamos (generalmente el de un sistema respecto al otro).
  3. Relacionar estos vectores entre sí como sumas unos de los otros.
Se ha dibujado esto en la figura 5.1.

Una vez que conocemos el vector de posición se puede extraer el resto de información derivando o realizando la operación matemática necesaria.

Figura: Relación vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor verá la piedra que cae como $\vec {r}_{cp} =\vec {r}_c - \vec {r}_p $.
\begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/mov-rel.ps,width=7cm}}
\end{center}\end{figure}

Rotación pura

En este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro con una velocidad angular constante $\omega$, pero manteniendo el origen en común.

La fórmula interesante es la que relaciona sus velocidades


\begin{displaymath}
\vec{v}=\vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}
\end{displaymath} (5.4)

que presenta una dificultad un poco mayor de deducción, y por eso no se expresa aquí.

Las magnitudes que aparecen en esta fórmula son $\vec{v}$, que es la velocidad que el móvil presenta respeto al sistema ``fijo''. $\vec{v}'$, la velocidad del móvil vista desde el sistema que rota, y $\omega$ que es la velocidad angular con la cual el sistema móvil rota respecto al ``fijo'', aunque siempre manteniendo en común su origen de coordenadas.

Por ejemplo, si hubiera una mosca posada en el eje de un tocadiscos y girando con él a una cierta velocidad angular $\omega$, que observara a un mosquito avanzar por el disco con una velocidad $\vec{v}'$, vista desde el punto de vista de la mosca, que está rotando, en este caso:

Resolución de problemas


Tiro parabólico

Se denomina tiro parabólico, en general, a aquellos movimientos que suceden de forma bidimensional sobre la superficie de la tierra.

Para este tipo de móviles el movimiento se descompone en sus componentes5.2 $x$ e $y$. El movimiento en $x$ no sufre aceleración, y por tanto sus ecuaciones serán

\begin{displaymath}
\mathrm{Eje\ x}\left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & x_0+v_{0x}t \\
v_x & = & v_{0x}
\end{array}\right.
\end{displaymath} (5.5)

pero en cambio en el eje $y$ se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante5.3 y por tanto sus ecuaciones serán
\begin{displaymath}
\mathrm{Eje\ y}\left\{
\begin{array}{ccc}
y & = & y_0+v_{0y}t -\frac{1}{2}gt^2\\
v_y & = & v_{0y} - gt
\end{array}\right..
\end{displaymath} (5.6)

Algunas preguntas típicas del tiro parabólico son calcular el alcance y altura máxima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura máxima se alcanzará cuando $v_y = 0$. De esta condición se extrae el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima y sustituyendo en la ecuación de las $y$ se obtiene la altura máxima. El alcance máximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el móvil volverá estar al nivel del suelo y por tanto $y=0$, sustituyendo se obtiene $t$ y, sustituyendo éste en las $x$ el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de manera similar.

$\diamond$ $x_0$ e $y_0$ serán las coordenadas donde el móvil se encuentra en el instante $t=0$, inicio del movimiento, y $v_{x0}$ y $v_{y0}$ la velocidad con la que se mueve en ese instante. Si nos han indicado que el móvil se movía con una velocidad $v$ formando un ángulo $\alpha $ con la horizontal se puede ver muy fácilmente que, entonces, $v_{x0}=v\cos\alpha$ y $v_{y0}=v\sin\alpha$.

A su vez el significado de las variables $x$ e $y$ es el siguiente: éstas nos indican a que distancia horizontal ($x$) y altura ($y$) se encuentra el móvil en cada instante de tiempo $t$, considerando que estamos tomando como origen para medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas respecto al cual estemos tomando todos los demás datos.

$\circ$ Se podría hacer un estudio más complejo incluyendo el rozamiento del aire. Para esto habrá que modificar las ecuaciones $x$ e $y$ a las nuevas ecuaciones deducidas en el apéndice B.

Componentes intrínsecas

$\mathcal{P}$ Sea un móvil cuyo vector de posición es

\begin{displaymath}\vec{r}=(7-3t)\hat{\imath}+(5t-5t^2)\hat{\jmath}+
8\hat{k}\ (m).\end{displaymath}

Calcular su velocidad, aceleración y componentes intrínsecas de ésta, así como el radio de la trayectoria para $t=0.5s$. $\mathcal{R}$ Derivo para encontrar $\vec{v}$ y $\vec{a}$. Una primera vez

\begin{displaymath}\vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{r} = -3\hat{\imath}+(5-10t)\hat{\jmath}\frac{m}{s}\end{displaymath}

y una segunda vez

\begin{displaymath}\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}= -10\hat{\jmath}\frac{m}{s^2}.\end{displaymath}

Ahora calculo el módulo de la velocidad:

\begin{displaymath}\vert\vec{v}\vert = \sqrt{9+(5-10t)^2}=\sqrt{34-100t+100t^2} \frac{m}{s}\end{displaymath}

que, derivado respecto al tiempo nos dará el módulo de $\vec{a}_t$.

\begin{displaymath}\vert\vec{a}_t\vert = \frac{d}{dt}\sqrt{34-100t+100t^2} =
\frac{100t-50}{\sqrt{34-100t+100t^2}} \frac{m}{s^2}\end{displaymath}

y multiplicando por el unitario de $\vec{v}$, que es

\begin{displaymath}\hat{v} =
\frac{-3\hat{\imath}+(5-10t)\hat{\jmath}}{\sqrt{34-100t+100t^2}}\end{displaymath}

nos da el vector $\vec{a}_t$

\begin{displaymath}\vec{a}_t = \frac{100t-50}{34-100t+100t^2}( -3\hat{\imath}+(5-10t)\hat{\jmath}). \frac{m}{s^2}\end{displaymath}

Por último podemos calcular $\vec{a}_n$ como $\vec{a}-\vec{a}_t$. Haciendo las oportunas sustituciones tendremos que para $t=0.5s$, $\vec{v}= -3\hat{\imath}\frac{m}{s}$, $\vec{a}= -10\hat{\jmath}\frac{m}{s^2}$, $\vec{a}_t = \vec{0}\frac{m}{s^2}$ con lo cual $\vec{a}_n=-3\hat{\jmath}\frac{m}{s^2}$ y de esta forma, podremos despejar el radio de la trayectoria, que será

\begin{displaymath}R=\frac{v^2}{a_n}=3m.\end{displaymath}


Cálculo de trayectorias

$\mathcal{P}$ Dado el vector de posición de un móvil

\begin{displaymath}\vec{r}= 15t\hat{\imath}+ (200 -
5t^2)\hat{\jmath},\end{displaymath}

calcule la ecuación de su trayectoria. $\mathcal{R}$ Este tipo de problemas se resuelve en general despejando $t$ en una de las ecuaciones de $x$ o de $y$ y sustituyendo en la otra, encontrando así $x$ en función de $y$ o al revés. En este caso tenemos que

\begin{displaymath}x=15t \Rightarrow
t=\frac{x}{15}\end{displaymath}

y sustituyendo en

\begin{displaymath}y=200-5t^2\end{displaymath}

tendremos

\begin{displaymath}y=200-5\left(\frac{x}{15}\right)^2 \Rightarrow y=200-\frac{1}{45}x^2.\end{displaymath}


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Ignacio Martin Bragado. imartin@ele.uva.es